Den fraktala strukturen för harmoniska oscillatorer i musik: Nyårskonsert: JS.Bach. Brandenburg konserter.

Analysen av strukturen för olika musikaliska verk har visat att urvalet av anteckningar gjorda av olika kompositörer vid olika tidpunkter har några vanliga element. Detta är ett av Brandenburg-konserterna i Bach, från Stringkvartetten # 3 av Babbit, av pianobilder av Scott Joplin, alla dessa verk har samma form om strukturen betraktas som frekvenser. Vi kommer att förklara detta nedan.

I hörselanalysen av olika musikaliska verk är en mängd som har studerats musikens ljudkraft. Denna mängd är i huvudsak energin som släpps ut i form av ljudvågor varje sekund, när det musikaliska arbetet utförs. Genom att analysera hur denna kvantitet är strukturerad, vad gäller frekvens, erhålls det som kallas dess spektrum.

Hur beror spektrat för olika musikaliska verk på frekvensen?

Analyser gjorda av olika musikaliska verk har visat att deras spektra beror på frekvensen, som vi kommer att kalla med bokstaven f, till exempel (1 / f). Om vi ​​kommer ihåg vad som analyserades i föregående kapitel, ser vi att detta spektrum är en maktlag som i matematiskt språk beror på frekvensen i omvänt till den första kraften i f (eftersom exponenten för f i (1 / f) är 1). Såsom redan beskrivits är detta spektrum självliknande och innehåller följaktligen en fraktal struktur.

Ett spektrum av den typ som nämns i föregående stycke kallas det rosa spektrumet.

Varför valde Bach och många andra kompositörer det rosa spektrumet? Verkligheten är att ingen musiker någonsin har hört talas om dessa idéer, mycket mindre valde dem medvetet. För att förstå vad som händer kommer vi att förklara hur musik skulle göras med en annan typ av spektrum.

Ett sätt skulle vara följande: varje anteckning som är skriven är sådan att dess position och varaktighet inte beror alls på de tidigare anteckningarna eller deras varaktighet. I detta fall sägs det att kompositionen är helt slumpmässig eller stokastisk. Ett exempel på denna typ av musik presenteras i figur 33 (a). Spektrumet för ljudkraften för denna typ av musik är detsamma för alla frekvensvärden, vilket betyder att kraften är densamma för alla frekvensvärden, det vill säga att det är en kvantitet konstant. Matematiskt beror spektrumet på frekvensen (1 / f0), eftersom f0 = 1. Ett spektrum av denna typ kallas vit. Om den här typen av musik spelades på ett instrument skulle vi höra den utan struktur; Det skulle också ge intrycket att det från en anteckning till en annan alltid skulle vara en överraskning.

En annan typ av spektrum, som går till andra änden, är den som beror på frekvensen (1 / f²), kallad brun eller brun, ett namn som gavs eftersom det är associerat med den bruna rörelsen som diskuteras i kapitel IV. Figur 33 (b) visar musik som har det bruna spektrumet. Inom musik beror varje ton och dess varaktighet till en betydande grad av de tidigare anteckningarna. Därför känslan du har när du lyssnar på det är att efter att ha spelat några anteckningar är följande förutsägbara.

I figuren: (a) Exempel på vit musik. (b) Exempel på brun musik. (c) Exempel på rosa musik.

Musik som har ett rosa spektrum, det vill säga (1 / f), är så att säga bland fallen av slumpmässig musik (vitt spektrum) och deterministisk musik (brunt spektrum). I detta fall är anteckningarna och deras varaktighet varken mycket förutsägbara eller mycket överraskande. Ett exempel på denna typ av musik visas i figur 33 (c).

Återgå till frågan ovan: varför använde kompositörerna effektivt rosa spektra, det vill säga en maktlag (1 / f) för att komponera sin musik? Det kan sägas att kompositörerna har provat, och säkert många av De lyckades komponera intressant musik. Frågan bör tas upp på följande sätt: varför har intressant musik ett rosa spektrum? Svaret kan vara att musik med denna typ av spektrum visar sig vara varken mycket förutsägbar (brunt spektrum) eller mycket överraskande (vitt spektrum). Den holländska forskaren Balthazaar van de Pol sa en gång att Bachs musik är bra eftersom den är oundviklig och samtidigt överraskande, vilket innebär att dess spektrum är rosa.

Eftersom musiken som har ett rosa spektrum är självliknande har den en liknande struktur på olika frekvensskalor. Det som händer på en frekvensskala måste ske på någon annan frekvensskala. Om en sådan komposition spelades in på magnetband med en viss hastighet och spelades med olika hastigheter, skulle det som skulle höras likna det som spelades in. Detta står i kontrast till vad som händer med den mänskliga rösten, för när en inspelning spelas med en hastighet, till exempel två gånger vad som ska göras, låter det mycket högt. Ett sätt att uppvisa självlikhet är med hjälp av en elektronisk enhet som genererar ljud från frekvenserna du vill ha. Om ett ljud produceras som är superpositionen för 2 toner, varvid varje teckning är en oktav (dubbel frekvens) från den föregående och börjar med en teckning på 10 Hertz (Hz), (1 hertz = 1Hz = 1 / sek), Följande 11 anteckningar skulle ha frekvenser:

20 = 2 x 10, 40 = 4 x 10, 80 = 8 x 10, 160 = 16 x 10,

320 = 32 x 10, 640 = 64 x 10, 1280 = 128 x 10,

2560 = 256 x 10, 5120 = 512 x 10, 10 240 = 1024 x 10 och

20 480 = 2 048 x 10, alla i Hz-enheter.

Låt oss nu ändra var och en av dessa toner för andra som har högre frekvenser med en halvton (motsvarande skillnaden mellan två på varandra följande pianoteckningar); halvtonfrekvensen erhålls från den föregående anteckningen multiplicerar med 1.05946. Nu spelas ljudet som är superpositionen för följande frekvenser:

10 x 1, 0594 = 10, 6, 20 x 1, 05946 = 21, 2,

40 x 1, 05946 = 42, 38, 80 x 1, 05946 = 84, 76,

160 x 1, 05946 = 169, 51, 320 x 1, 05946 = 339, 03,

640 x 1, 05946 = 678, 06, 1 280 x 1, 05946 = 1356, 11,

2560x 1, 05946 = 2712, 22, 5120 x 1, 05946 = 5424, 44,

10240 x 1, 05946 = 10848, 88 och 20480 x 1, 05946 = 21697, 74 Hz

Det här ljudet hörs med en högre ton än den föregående.

Om frekvensen för vart och ett av noterna ökas med en halvton igen, kommer superpositionen för de nya ljuden att ge ett högre tonljud. Om processen att öka varje ljudkomponent med en halvton upprepas 12 gånger visar det sig att ljudet som produceras inte kan skiljas från originalet! Detta är en musikalisk demonstration av självlikhet.

Om vi ​​dessutom tar hänvisning till de icke-hörbara tids- / spektrumdiagrammen, kommer vi att ha i nyanserna> 20 Hz och högre än 28 000 Hz, kommer vi att få en harmonisk logaritm som uttrycks som en följd av enstaka och dubbla händelser i tystnader:

Nyckeln till de harmoniska oscillatorerna är i följd av tystnader eller frekvenskedjor i det icke-hörbara spektrumet.

Kombinationen av ovanstående koncept resulterar i detta under som vi erbjuder att få det nya året 2011: